Trigonometrie Beispiele

$\log_{3} (x + 1) = 2 + \log_{3} (x - 3)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{3} (x + 1) - \log_{3} (x - 3) = 2$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 1}{x - 3}) = 2$

Schritt 3

Schreibe $\log_{3} (\frac{x + 1}{x - 3}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{2} = \frac{x + 1}{x - 3}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 1 = 3^{2} (x - 3)$

Schritt 5

Vereinfache $3^{2} (x - 3)$ .

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Schritt 5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x + 1 = 9 (x - 3)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = 9 x + 9 \cdot - 3$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$x + 1 = 9 x - 27$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - 9 x = - 27$

Schritt 6.2

Subtrahiere $9 x$ von $x$ .

$- 8 x + 1 = - 27$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 x = - 27 - 1$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von $- 27$ .

$- 8 x = - 28$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = - 28$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 x = - 28$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 28}{- 8}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 28}{- 8}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 28}{- 8}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 28$ und $- 8$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 28$ heraus.

$x = \frac{- 4 (7)}{- 8}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 8$ heraus.

$x = \frac{- 4 \cdot 7}{- 4 \cdot 2}$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 4 \cdot 7}{- 4 \cdot 2}$

Schritt 8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{7}{2}$

Dezimalform:

$x = 3.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 3 \frac{1}{2}$