Trigonometrie Beispiele

$\log_{3} (x - 7) = 2 - \log_{3} (x + 1)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{3} (x - 7) + \log_{3} (x + 1) = 2$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x - 7) (x + 1)) = 2$

Schritt 3

Multipliziere $(x - 7) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (x (x + 1) - 7 (x + 1)) = 2$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 1 - 7 (x + 1)) = 2$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 2$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 2$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\log_{3} (x^{2} + x - 7 x - 7 \cdot 1) = 2$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$\log_{3} (x^{2} + x - 7 x - 7) = 2$

Schritt 4.2

Subtrahiere $7 x$ von $x$ .

$\log_{3} (x^{2} - 6 x - 7) = 2$

Schritt 5

Schreibe $\log_{3} (x^{2} - 6 x - 7) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{2} = x^{2} - 6 x - 7$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 6 x - 7 = 3^{2}$ um.

$x^{2} - 6 x - 7 = 3^{2}$

Schritt 6.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - 6 x - 7 = 9$

Schritt 6.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x - 7 - 9 = 0$

Schritt 6.4

Subtrahiere $9$ von $- 7$ .

$x^{2} - 6 x - 16 = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 16$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 8, 2$

Schritt 6.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 8) (x + 2) = 0$

Schritt 6.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 6.7

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 6.7.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 6.8

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.8.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 8) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 8, - 2$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (x - 7) = 2 - \log_{3} (x + 1)$ nicht erfüllen.

$x = 8$