Trigonometrie Beispiele

$2 \cos^{2} (2 x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (2 x)$ . Ersetze $u$ für alle $\cos (2 x)$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (2 x)$ .

$(2 \cos (2 x) + 1) (\cos (2 x) - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \cos (2 x) + 1 = 0$

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $2 \cos (2 x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 \cos (2 x) + 1$ gleich $0$ .

$2 \cos (2 x) + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 \cos (2 x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (2 x) = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (2 x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (2 x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (2 x)$ durch $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{1}{2})$ ist $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{2 π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{2 π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.6

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.7.1

Vereinfache.

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Schritt 3.2.7.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.2.7.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.2.7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 3.2.7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 3.2.7.1.5

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 3.2.7.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{4 π}{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{4 π}{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 3.2.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 3.2.7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Schritt 3.2.7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.7.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 3.2.8

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 3.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 3.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.8.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.9

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze $\cos (2 x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cos (2 x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (2 x) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cos (2 x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (2 x) = 1$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$2 x = 0$

Schritt 4.2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - 0$

Schritt 4.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.1

Vereinfache.

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Schritt 4.2.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Schritt 4.2.6.1.2

Addiere $2 π$ und $0$ .

$2 x = 2 π$

Schritt 4.2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2 π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2 π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Schritt 4.2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Schritt 4.2.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Schritt 4.2.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{2}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$x = π$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 4.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 4.2.7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \cos (2 x) + 1) (\cos (2 x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$