Trigonometrie Beispiele

$2 \log_{3} (x) - \log_{3} (4) = \log_{3} (16)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \log_{3} (x) - \log_{3} (4) - \log_{3} (16) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \log_{3} (x) - \log_{3} (4) - \log_{3} (16)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $2 \log_{3} (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} (4) - \log_{3} (16) = 0$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{4}) - \log_{3} (16) = 0$

Schritt 2.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x^{2}}{4}}{16}) = 0$

Schritt 2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{16}) = 0$

Schritt 2.1.5

Kombinieren.

$\log_{3} (\frac{x^{2} \cdot 1}{4 \cdot 16}) = 0$

Schritt 2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 2.1.6.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{4 \cdot 16}) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{64}) = 0$

Schritt 3

Schreibe $\log_{3} (\frac{x^{2}}{64}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{x^{2}}{64}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x^{2}}{64} = 3^{0}$ um.

$\frac{x^{2}}{64} = 3^{0}$

Schritt 4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $64$ .

$64 \frac{x^{2}}{64} = 64 \cdot 3^{0}$

Schritt 4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 \frac{x^{2}}{64} = 64 \cdot 3^{0}$

Schritt 4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 64 \cdot 3^{0}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache $64 \cdot 3^{0}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} = 64 \cdot 1$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $64$ mit $1$ .

$x^{2} = 64$

Schritt 4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Schritt 4.5

Vereinfache $\pm \sqrt{64}$ .

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Schritt 4.5.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Schritt 4.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 8$

Schritt 4.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8$

Schritt 4.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8$

Schritt 4.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8, - 8$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $2 \log_{3} (x) - \log_{3} (4) = \log_{3} (16)$ nicht erfüllen.

$x = 8$