Trigonometrie Beispiele

$16 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x) - 11$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 \cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 11$

Schritt 1.2

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 11 = 0$

Schritt 2

Ersetze die $- 4 \cos^{2} (x)$ durch $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$16 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$16 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$16 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 11 = 0$

Schritt 4

Addiere $- 4$ und $11$ .

$16 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) + 7 = 0$

Schritt 5

Stelle das Polynom um.

$4 \sin^{2} (x) + 16 \sin (x) + 7 = 0$

Schritt 6

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 16 (u) + 7 = 0$

Schritt 7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ und deren Summe gleich $b = 16$ ist.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 u$ heraus.

$4 u^{2} + 16 u + 7 = 0$

Schritt 7.1.2

Schreibe $16$ um als $2$ plus $14$

$4 u^{2} + (2 + 14) u + 7 = 0$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} + 2 u + 14 u + 7 = 0$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 u^{2} + 2 u + 14 u + 7 = 0$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 u (2 u + 1) + 7 (2 u + 1) = 0$

Schritt 7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (2 u + 7) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$2 u + 7 = 0$

Schritt 9

Setze $2 u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $2 u + 1$ gleich $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Schritt 9.2

Löse $2 u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = - 1$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 9.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Schritt 9.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{2}$

Schritt 10

Setze $2 u + 7$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $2 u + 7$ gleich $0$ .

$2 u + 7 = 0$

Schritt 10.2

Löse $2 u + 7 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = - 7$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 7$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 7}{2}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{7}{2}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 u + 1) (2 u + 7) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2}$

Schritt 12

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2}$

Schritt 13

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{7}{2}$

Schritt 14

Löse in $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Schritt 14.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 14.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 14.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 14.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 14.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 14.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Schritt 14.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 14.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 14.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 14.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.6.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Schritt 14.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Schritt 14.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 14.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Löse in $\sin (x) = - \frac{7}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{7}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 16

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$