Trigonometrie Beispiele

$2 \sec^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Schritt 1

Ersetze die $2 \sec^{2} (x)$ durch $2 (1 + \tan^{2} (x))$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$2 (1 + \tan^{2} (x)) = 3 - \tan (x)$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Schritt 4

Stelle das Polynom um.

$2 \tan^{2} (x) + 2 = 3 - \tan (x)$

Schritt 5

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

$2 {(u)}^{2} + 2 = 3 - (u)$

Schritt 6

Addiere $u$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u^{2} + 2 + u = 3$

Schritt 7

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u^{2} + 2 + u - 3 = 0$

Schritt 8

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 9.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Schritt 9.1.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Schritt 9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Schritt 9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Schritt 9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Schritt 9.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 11

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $2 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 11.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 1$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 12

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 14

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 15

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

$\tan (x) = - 1$

Schritt 16

Löse in $\tan (x) = \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

Schritt 16.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.2.1

Berechne $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$x = 0.4636476$

Schritt 16.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Schritt 16.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Schritt 16.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Schritt 16.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Schritt 16.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 16.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 16.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 16.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 16.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 16.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 17

Löse in $\tan (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 17.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 17.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 17.2.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 17.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 17.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 17.4.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 17.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 17.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 17.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 17.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 17.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 17.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 17.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 17.6.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 17.6.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 17.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 17.6.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 17.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 17.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.6.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 17.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 17.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 17.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 18

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 19

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 19.1

Führe $0.4636476 + π n$ und $3.60524026 + π n$ zu $0.4636476 + π n$ zusammen.

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 19.2

Führe $\frac{3 π}{4} + π n$ und $\frac{3 π}{4} + π n$ zu $\frac{3 π}{4} + π n$ zusammen.

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$