Trigonometrie Beispiele

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 6 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (x)$ .

$2 u^{2} + u - 6 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 6 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $1$ um als $- 3$ plus $4$

$2 u^{2} + (- 3 + 4) u - 6 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} - 3 u + 4 u - 6 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} - 3 u) + 4 u - 6 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u - 3) + 2 (2 u - 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 3$ .

$(2 u - 3) (u + 2) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$(2 \sin (x) - 3) (\sin (x) + 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \sin (x) - 3 = 0$

$\sin (x) + 2 = 0$

Schritt 3

Setze $2 \sin (x) - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 \sin (x) - 3$ gleich $0$ .

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 \sin (x) - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = 3$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.3

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\frac{3}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \sin (x) - 3) (\sin (x) + 2) = 0$ wahr machen.

Keine Lösung