Trigonometrie Beispiele

$23 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$23 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Ersetze $\cos^{2} (x)$ durch $1 - \sin^{2} (x)$ .

$23 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (x)$ .

$24 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 24 \cdot - 1 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 3.1.2.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 u$ heraus.

$24 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Schritt 3.1.2.1.2

Schreibe $- 2$ um als $4$ plus $- 6$

$24 u^{2} + (4 - 6) u - 1 = 0$

Schritt 3.1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$24 u^{2} + 4 u - 6 u - 1 = 0$

Schritt 3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(24 u^{2} + 4 u) - 6 u - 1 = 0$

Schritt 3.1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 u (6 u + 1) - (6 u + 1) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $6 u + 1$ .

$(6 u + 1) (4 u - 1) = 0$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$(6 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) - 1) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$6 \sin (x) + 1 = 0$

$4 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 3.3

Setze $6 \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $6 \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$6 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $6 \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 \sin (x) = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 \sin (x) = - 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 \sin (x) = - 1$ durch $6$ .

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{- 1}{6}$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{- 1}{6}$

Schritt 3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{6}$

Schritt 3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{6})$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.4.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1}{6})$ .

$x = - 0.16744807$

Schritt 3.3.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265$

Schritt 3.3.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.3.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 3.3.2.6.2

Der resultierende Winkel von $3.30904073$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265$ .

$x = 3.30904073$

Schritt 3.3.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.3.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.3.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.3.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.3.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.3.2.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.3.2.8.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.16744807$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.16744807 + 2 π$

Schritt 3.3.2.8.2

Subtrahiere $0.16744807$ von $2 π$ .

$6.11573722$

Schritt 3.3.2.8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 6.11573722$

Schritt 3.3.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.30904073 + 2 π n, 6.11573722 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.4

Setze $4 \sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $4 \sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$4 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $4 \sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin (x) = 1$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (x) = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (x) = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 3.4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

Schritt 3.4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$x = 0.25268025$

Schritt 3.4.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Schritt 3.4.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.6.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

Schritt 3.4.2.6.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Schritt 3.4.2.6.3

Subtrahiere $0.25268025$ von $3.14159265$ .

$x = 2.88891239$

Schritt 3.4.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.4.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(6 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3.30904073 + 2 π n, 6.11573722 + 2 π n, 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$