Trigonometrie Beispiele

$2 \tan (x) - \sec^{2} (x) = 0$

Schritt 1

Ersetze die $- \sec^{2} (x)$ durch $- (1 + \tan^{2} (x))$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$2 \tan (x) - (1 + \tan^{2} (x)) = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \tan (x) - 1 \cdot 1 - \tan^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \tan (x) - 1 - \tan^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Stelle das Polynom um.

$- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) - 1 = 0$

Schritt 4

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

$- {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} + 2 u - 1$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 u$ heraus.

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 = 0$

Schritt 5.1.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} - (- 2 u)$ heraus.

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} - 2 u) - 1 (1)$ heraus.

$- (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 5.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$- {(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- {(u - 1)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(u - 1)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(u - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(u - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere ${(u - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 7

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 8

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1$

Schritt 10

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 11

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 12

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 13

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 13.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 13.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 13.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 14

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 14.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 14.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 14.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 15

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$