Trigonometrie Beispiele

$2 \tan (x) = 1 - \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

$2 (u) = 1 - {(u)}^{2}$

Schritt 2

Addiere $u^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u + u^{2} = 1$

Schritt 3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u + u^{2} - 1 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 8

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{2}$

$\tan (x) = - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 10

Löse in $\tan (x) = - 1 + \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\tan (x) = 0.41421356$

Schritt 10.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0.41421356)$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Berechne $\arctan (0.41421356)$ .

$x = \frac{π}{8}$

Schritt 10.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{8}$

Schritt 10.5

Vereinfache $π + \frac{π}{8}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{π}{8}$

Schritt 10.5.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{π}{8}$

Schritt 10.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 8 + π}{8}$

Schritt 10.5.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.3.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{8 \cdot π + π}{8}$

Schritt 10.5.3.2

Addiere $8 π$ und $π$ .

$x = \frac{9 π}{8}$

Schritt 10.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 10.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 10.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 10.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 10.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{9 π}{8} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Löse in $\tan (x) = - 1 - \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\tan (x) = - 2.41421356$

Schritt 11.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 2.41421356)$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Berechne $\arctan (- 2.41421356)$ .

$x = - \frac{3 π}{8}$

Schritt 11.4

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{3 π}{8} - π$

Schritt 11.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{3 π}{8} - π$ .

$x = - \frac{3 π}{8} - π + 2 π$

Schritt 11.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{8}$ ist positiv und gleich $- \frac{3 π}{8} - π$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Schritt 11.6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 11.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 11.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 11.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11.7

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.7.1

Addiere $π$ zu $- \frac{3 π}{8}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{3 π}{8} + π$

Schritt 11.7.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{3 π}{8}$

Schritt 11.7.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.7.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{3 π}{8}$

Schritt 11.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 8 - 3 π}{8}$

Schritt 11.7.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.7.4.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{8 \cdot π - 3 π}{8}$

Schritt 11.7.4.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$\frac{5 π}{8}$

Schritt 11.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{8}$

Schritt 11.8

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{9 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$