Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (x + \frac{π}{6}) + 1 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x + \frac{π}{6}) = - 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x + \frac{π}{6}) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x + \frac{π}{6}) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x + \frac{π}{6})}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x + \frac{π}{6})}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (x + \frac{π}{6})$ durch $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x + \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x + \frac{π}{6} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x + \frac{π}{6} = - \frac{π}{6}$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{π}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- π - π}{6}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $π$ von $- π$ .

$x = \frac{- 2 π}{6}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $6$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 π$ heraus.

$x = \frac{2 (- π)}{6}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 (- π)}{2 (3)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (- π)}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- π}{3}$

Schritt 5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x + \frac{π}{6} = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x + \frac{π}{6} = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 7.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6}$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{7 π}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{7 π - π}{6}$

Schritt 7.3.3

Subtrahiere $π$ von $7 π$ .

$x = \frac{6 π}{6}$

Schritt 7.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 7.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6 π}{6}$

Schritt 7.3.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$x = π$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (x + \frac{π}{6})$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 9.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Schritt 9.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 9.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Schritt 9.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Schritt 9.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\sin (x + \frac{π}{6})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$