Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (4 x) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (4 x) = 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (4 x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (4 x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (4 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (4 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (4 x)$ durch $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$4 x = \frac{π}{6}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{6}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{6}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$x = \frac{π}{24}$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$4 x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$4 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 7.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 6$ .

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Schritt 7.1.4.1

Stelle $π$ und $6$ um.

$4 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 7.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 \cdot π$ .

$4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 7.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{6}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 4}$

Schritt 7.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (4 x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (4 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$