Gib eine Aufgabe ein ...
Trigonometrie Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 1.1.2
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 2
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit .
Schritt 3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 4
Schritt 4.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 4.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 5
Schritt 5.1
Multipliziere .
Schritt 5.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.1.2
Potenziere mit .
Schritt 5.1.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.1.4
Addiere und .
Schritt 5.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6
Mutltipliziere mit .
Schritt 7
Ersetze die durch basierend auf der -Identitätsgleichung.
Schritt 8
Schritt 8.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 8.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 9
Subtrahiere von .
Schritt 10
Ersetze durch .
Schritt 11
Schritt 11.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.1.3
Schreibe als um.
Schritt 11.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2
Faktorisiere.
Schritt 11.2.1
Faktorisiere durch Gruppieren.
Schritt 11.2.1.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
Schritt 11.2.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.1.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 11.2.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 11.2.1.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.1.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
Schritt 11.2.1.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 11.2.1.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 11.2.1.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 11.2.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 12
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 13
Schritt 13.1
Setze gleich .
Schritt 13.2
Löse nach auf.
Schritt 13.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 13.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 13.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 13.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 13.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 13.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 13.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 13.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 14
Schritt 14.1
Setze gleich .
Schritt 14.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 15
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 16
Ersetze durch .
Schritt 17
Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach aufzulösen.
Schritt 18
Schritt 18.1
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 18.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 18.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 18.3
Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 18.4
Vereinfache .
Schritt 18.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 18.4.2
Kombiniere Brüche.
Schritt 18.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 18.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 18.4.3
Vereinfache den Zähler.
Schritt 18.4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.4.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 18.5
Ermittele die Periode von .
Schritt 18.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 18.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 18.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 18.5.4
Dividiere durch .
Schritt 18.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 19
Schritt 19.1
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 19.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 19.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 19.3
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 19.4
Subtrahiere von .
Schritt 19.5
Ermittele die Periode von .
Schritt 19.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 19.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 19.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 19.5.4
Dividiere durch .
Schritt 19.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 20
Liste alle Lösungen auf.
, für jede ganze Zahl
Schritt 21
Fasse die Ergebnisse zusammen.
, für jede ganze Zahl