Trigonometrie Beispiele

$2 \cos (h (2 x)) - \sin (h (2 x)) = 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (h \cdot (2 x)) - \sin (h \cdot (2 x)) - 2 = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cos (2 h x) - \sin (h \cdot (2 x)) - 2 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Füge Klammern hinzu.

$2 \cos (2 (h x)) - \sin (h \cdot (2 x)) - 2 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$2 (\cos^{2} (h x) - \sin^{2} (h x)) - \sin (h \cdot (2 x)) - 2 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (h x) + 2 (- \sin^{2} (h x)) - \sin (h \cdot (2 x)) - 2 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - \sin (h \cdot (2 x)) - 2 = 0$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - \sin (2 h x) - 2 = 0$

Schritt 2.1.1.7

Füge Klammern hinzu.

$2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - \sin (2 (h x)) - 2 = 0$

Schritt 2.1.1.8

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - (2 \sin (h x) \cos (h x)) - 2 = 0$

Schritt 2.1.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) - 2 = 0$

Schritt 2.1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1.2.1

Bewege $- 2$ .

$2 \cos^{2} (h x) - 2 - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Stelle $2 \cos^{2} (h x)$ und $- 2$ um.

$- 2 + 2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$- 2 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere $- 2$ aus $2 \cos^{2} (h x)$ heraus.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (h x)) - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Schritt 2.1.2.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (h x))$ heraus.

$- 2 (1 - \cos^{2} (h x)) - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Schritt 2.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2 \sin^{2} (h x)$ von $- 2 \sin^{2} (h x)$ .

$- 4 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $- 4 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x)$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2 \sin (h x)$ aus $- 4 \sin^{2} (h x) - 2 \sin (h x) \cos (h x)$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2 \sin (h x)$ aus $- 4 \sin^{2} (h x)$ heraus.

$2 \sin (h x) (- 2 \sin (h x)) - 2 \sin (h x) \cos (h x) = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2 \sin (h x)$ aus $- 2 \sin (h x) \cos (h x)$ heraus.

$2 \sin (h x) (- 2 \sin (h x)) + 2 \sin (h x) (- 1 \cos (h x)) = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2 \sin (h x)$ aus $2 \sin (h x) (- 2 \sin (h x)) + 2 \sin (h x) (- 1 \cos (h x))$ heraus.

$2 \sin (h x) (- 2 \sin (h x) - 1 \cos (h x)) = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $- 1 \cos (h x)$ als $- \cos (h x)$ um.

$2 \sin (h x) (- 2 \sin (h x) - \cos (h x)) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (h x) = 0$

$- 2 \sin (h x) - \cos (h x) = 0$

Schritt 5

Setze $\sin (h x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\sin (h x)$ gleich $0$ .

$\sin (h x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\sin (h x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$h x = \arcsin (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$h x = 0$

Schritt 5.2.3

Teile jeden Ausdruck in $h x = 0$ durch $h$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $h x = 0$ durch $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{0}{h}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h x}{h} = \frac{0}{h}$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{h}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $h$ .

$x = 0$

Schritt 5.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$h x = π - 0$

Schritt 5.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$h x = π + 0$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$h x = π$

Schritt 5.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $h x = π$ durch $h$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $h x = π$ durch $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{π}{h}$

Schritt 5.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 5.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h x}{h} = \frac{π}{h}$

Schritt 5.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{h}$

Schritt 6

Setze $- 2 \sin (h x) - \cos (h x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $- 2 \sin (h x) - \cos (h x)$ gleich $0$ .

$- 2 \sin (h x) - \cos (h x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $- 2 \sin (h x) - \cos (h x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (h x)$ .

$\frac{- 2 \sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{- \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Schritt 6.2.2

Separiere Brüche.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{- \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Schritt 6.2.3

Wandle von $\frac{\sin (h x)}{\cos (h x)}$ nach $\tan (h x)$ um.

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (h x) + \frac{- \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Schritt 6.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2 \tan (h x) + \frac{- \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Schritt 6.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (h x)$ .

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Schritt 6.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \tan (h x) + \frac{- \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Schritt 6.2.5.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 2 \tan (h x) - 1 = \frac{0}{\cos (h x)}$

Schritt 6.2.6

Separiere Brüche.

$- 2 \tan (h x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (h x)}$

Schritt 6.2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (h x)}$ nach $\sec (h x)$ um.

$- 2 \tan (h x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (h x)$

Schritt 6.2.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 2 \tan (h x) - 1 = 0 \sec (h x)$

Schritt 6.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (h x)$ .

$- 2 \tan (h x) - 1 = 0$

Schritt 6.2.10

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \tan (h x) = 1$

Schritt 6.2.11

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \tan (h x) = 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \tan (h x) = 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (h x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 6.2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.2.11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \tan (h x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Schritt 6.2.11.2.1.2

Dividiere $\tan (h x)$ durch $1$ .

$\tan (h x) = \frac{1}{- 2}$

Schritt 6.2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (h x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$h x = \arctan (- \frac{1}{2})$

Schritt 6.2.13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.13.1

Berechne $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$h x = - 0.4636476$

Schritt 6.2.14

Teile jeden Ausdruck in $h x = - 0.4636476$ durch $h$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.14.1

Teile jeden Ausdruck in $h x = - 0.4636476$ durch $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.4636476}{h}$

Schritt 6.2.14.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 6.2.14.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.4636476}{h}$

Schritt 6.2.14.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 0.4636476}{h}$

Schritt 6.2.14.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.14.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{0.4636476}{h}$

Schritt 6.2.15

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$h x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

Schritt 6.2.16

Addiere $2 π$ zu $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$h x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 6.2.17

Der resultierende Winkel von $2.67794504$ ist positiv und gleich $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$h x = 2.67794504$

Schritt 6.2.18

Teile jeden Ausdruck in $h x = 2.67794504$ durch $h$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.18.1

Teile jeden Ausdruck in $h x = 2.67794504$ durch $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{2.67794504}{h}$

Schritt 6.2.18.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.18.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 6.2.18.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h x}{h} = \frac{2.67794504}{h}$

Schritt 6.2.18.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2.67794504}{h}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \sin (h x) (- 2 \sin (h x) - \cos (h x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{h}$

$x = \frac{2.67794504}{h}$