Trigonometrie Beispiele

$2 \log (50) = 3 \log (25) + \log (x - 2)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $3 \log (25) + \log (x - 2) = 2 \log (50)$ um.

$3 \log (25) + \log (x - 2) = 2 \log (50)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$3 \log (25) + \log (x - 2) - 2 \log (50) = 0$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $3 \log (25) + \log (x - 2) - 2 \log (50)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Vereinfache $3 \log (25)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (25^{3}) + \log (x - 2) - 2 \log (50) = 0$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $25$ mit $3$ .

$\log (15625) + \log (x - 2) - 2 \log (50) = 0$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache $- 2 \log (50)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (15625) + \log (x - 2) - \log (50^{2}) = 0$

Schritt 3.1.1.4

Potenziere $50$ mit $2$ .

$\log (15625) + \log (x - 2) - \log (2500) = 0$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (15625 (x - 2)) - \log (2500) = 0$

Schritt 3.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{15625 (x - 2)}{2500}) = 0$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15625$ und $2500$ .

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $625$ aus $15625 (x - 2)$ heraus.

$\log (\frac{625 (25 (x - 2))}{2500}) = 0$

Schritt 3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.2.1

Faktorisiere $625$ aus $2500$ heraus.

$\log (\frac{625 (25 (x - 2))}{625 (4)}) = 0$

Schritt 3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{625 (25 (x - 2))}{625 \cdot 4}) = 0$

Schritt 3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{25 (x - 2)}{4}) = 0$

Schritt 4

Schreibe $\log (\frac{25 (x - 2)}{4}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{25 (x - 2)}{4}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{25 (x - 2)}{4} = 10^{0}$ um.

$\frac{25 (x - 2)}{4} = 10^{0}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 (x - 2)}{4} = \frac{4}{25} \cdot 10^{0}$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{25} \cdot \frac{25 (x - 2)}{4}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{25} \cdot \frac{25 (x - 2)}{4} = \frac{4}{25} \cdot 10^{0}$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{25} (25 (x - 2)) = \frac{4}{25} \cdot 10^{0}$

Schritt 5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{25} (25 (x - 2)) = \frac{4}{25} \cdot 10^{0}$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 2 = \frac{4}{25} \cdot 10^{0}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{25} \cdot 10^{0}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x - 2 = \frac{4}{25} \cdot 1$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{4}{25}$ mit $1$ .

$x - 2 = \frac{4}{25}$

Schritt 5.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{4}{25} + 2$

Schritt 5.4.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$x = \frac{4}{25} + 2 \cdot \frac{25}{25}$

Schritt 5.4.3

Kombiniere $2$ und $\frac{25}{25}$ .

$x = \frac{4}{25} + \frac{2 \cdot 25}{25}$

Schritt 5.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{4 + 2 \cdot 25}{25}$

Schritt 5.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{4 + 50}{25}$

Schritt 5.4.5.2

Addiere $4$ und $50$ .

$x = \frac{54}{25}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{54}{25}$

Dezimalform:

$x = 2.16$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 2 \frac{4}{25}$