Trigonometrie Beispiele

$2 \cos (3 x - \frac{1}{6} \cdot π) = \sqrt{3}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (3 x - \frac{1}{6} \cdot π) = \sqrt{3}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (3 x - \frac{1}{6} \cdot π) = \sqrt{3}$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (3 x - \frac{1}{6} \cdot π)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (3 x - \frac{1}{6} \cdot π)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\cos (3 x - \frac{1}{6} \cdot π)$ durch $1$ .

$\cos (3 x - \frac{1}{6} \cdot π) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$3 x - \frac{1}{6} \cdot π = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{6}$ .

$3 x - \frac{π}{6} = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$3 x - \frac{π}{6} = \frac{π}{6}$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $\frac{π}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{π}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π + π}{6}$

Schritt 5.3

Addiere $π$ und $π$ .

$3 x = \frac{2 π}{6}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$3 x = \frac{2 (π)}{6}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$3 x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x = \frac{π}{3}$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{3}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.3.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

Schritt 7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$3 x - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 8.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$3 x - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 8.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$3 x - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 8.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 8.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$3 x - \frac{π}{6} = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 8.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$3 x - \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Addiere $\frac{π}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{11 π}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 8.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{11 π + π}{6}$

Schritt 8.2.3

Addiere $11 π$ und $π$ .

$3 x = \frac{12 π}{6}$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $6$ .

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Schritt 8.2.4.1

Faktorisiere $6$ aus $12 π$ heraus.

$3 x = \frac{6 (2 π)}{6}$

Schritt 8.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$3 x = \frac{6 (2 π)}{6 (1)}$

Schritt 8.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x = \frac{6 (2 π)}{6 \cdot 1}$

Schritt 8.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x = \frac{2 π}{1}$

Schritt 8.2.4.2.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$3 x = 2 π$

Schritt 8.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2 π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2 π$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 8.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\cos (3 x - \frac{1}{6} \cdot π)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\cos (3 x - \frac{1}{6} \cdot π)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{2 π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$