Trigonometrie Beispiele

$2 \cos (x) + 3 = \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\sin^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) + 3 - \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Ersetze $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 3 - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$2 (u) + 3 - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache $2 u + 3 - (1 - u^{2})$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u + 3 - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 u + 3 - 1 - - u^{2} = 0$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $- - u^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 u + 3 - 1 + 1 u^{2} = 0$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$2 u + 3 - 1 + u^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2 u + 2 + u^{2} = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$u = - 1 \pm i$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - 1 + i, - 1 - i$

Schritt 3.7

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - 1 + i, - 1 - i$

Schritt 3.8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = - 1 + i$

$\cos (x) = - 1 - i$

Schritt 3.9

Löse in $\cos (x) = - 1 + i$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.9.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1 + i)$

Schritt 3.9.2

Der inverse Cosinus von $\arccos (- 1 + i)$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 3.10

Löse in $\cos (x) = - 1 - i$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.10.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1 - i)$

Schritt 3.10.2

Der inverse Cosinus von $\arccos (- 1 - i)$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 3.11

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung