Trigonometrie Beispiele

2 \ln (\sqrt{x}) - \ln (1 - x) = 2

$2 \ln (\sqrt{x}) - \ln (1 - x) = 2$

Schritt 1

Stelle

1

$1$ und

- x

$- x$ um.

2 \ln (\sqrt{x}) - \ln (- x + 1) = 2

$2 \ln (\sqrt{x}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache

2 \ln (\sqrt{x}) - \ln (- x + 1)

$2 \ln (\sqrt{x}) - \ln (- x + 1)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache

2 \ln (\sqrt{x})

$2 \ln (\sqrt{x})$ , indem du

2

$2$ in den Logarithmus ziehst.

\ln ({\sqrt{x}}^{2}) - \ln (- x + 1) = 2

$\ln ({\sqrt{x}}^{2}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe

{\sqrt{x}}^{2}

${\sqrt{x}}^{2}$ als

x

$x$ um.

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Schritt 2.1.1.2.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ als

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) - \ln (- x + 1) = 2

$\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - \ln (- x + 1) = 2

$\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.1.2.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\ln (x^{\frac{2}{2}}) - \ln (- x + 1) = 2

$\ln (x^{\frac{2}{2}}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.1.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\ln (x^{\frac{2}{2}}) - \ln (- x + 1) = 2

$\ln (x^{\frac{2}{2}}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

\ln (x^{1}) - \ln (- x + 1) = 2

$\ln (x^{1}) - \ln (- x + 1) = 2$

\ln (x^{1}) - \ln (- x + 1) = 2

$\ln (x^{1}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.1.2.5

Vereinfache.

\ln (x) - \ln (- x + 1) = 2

$\ln (x) - \ln (- x + 1) = 2$

\ln (x) - \ln (- x + 1) = 2

$\ln (x) - \ln (- x + 1) = 2$

\ln (x) - \ln (- x + 1) = 2

$\ln (x) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\ln (\frac{x}{- x + 1}) = 2

$\ln (\frac{x}{- x + 1}) = 2$

\ln (\frac{x}{- x + 1}) = 2

$\ln (\frac{x}{- x + 1}) = 2$

\ln (\frac{x}{- x + 1}) = 2

$\ln (\frac{x}{- x + 1}) = 2$

Schritt 3

Schreibe

\ln (\frac{x}{- x + 1}) = 2

$\ln (\frac{x}{- x + 1}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn

x

$x$ und

b

$b$ positive reelle Zahlen sind und

b

$b$

\neq

$\neq$

1

$1$ , dann ist

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{2} = \frac{x}{- x + 1}

$e^{2} = \frac{x}{- x + 1}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

x = e^{2} (- x + 1)

$x = e^{2} (- x + 1)$

Schritt 5

Vereinfache

e^{2} (- x + 1)

$e^{2} (- x + 1)$ .

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

x = e^{2} (- x) + e^{2} \cdot 1

$x = e^{2} (- x) + e^{2} \cdot 1$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere

e^{2}

$e^{2}$ mit

1

$1$ .

x = e^{2} (- x) + e^{2}

$x = e^{2} (- x) + e^{2}$

Schritt 5.2.2

Stelle die Faktoren in

e^{2} (- x) + e^{2}

$e^{2} (- x) + e^{2}$ um.

x = - e^{2} x + e^{2}

$x = - e^{2} x + e^{2}$

x = - e^{2} x + e^{2}

$x = - e^{2} x + e^{2}$

x = - e^{2} x + e^{2}

$x = - e^{2} x + e^{2}$

Schritt 6

Addiere

e^{2} x

$e^{2} x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x + e^{2} x = e^{2}

$x + e^{2} x = e^{2}$

Schritt 7

Faktorisiere

x

$x$ aus

x + e^{2} x

$x + e^{2} x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere

x

$x$ aus

x^{1}

$x^{1}$ heraus.

x \cdot 1 + e^{2} x = e^{2}

$x \cdot 1 + e^{2} x = e^{2}$

Schritt 7.2

Faktorisiere

x

$x$ aus

e^{2} x

$e^{2} x$ heraus.

x \cdot 1 + x e^{2} = e^{2}

$x \cdot 1 + x e^{2} = e^{2}$

Schritt 7.3

Faktorisiere

x

$x$ aus

x \cdot 1 + x e^{2}

$x \cdot 1 + x e^{2}$ heraus.

x (1 + e^{2}) = e^{2}

$x (1 + e^{2}) = e^{2}$

x (1 + e^{2}) = e^{2}

$x (1 + e^{2}) = e^{2}$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in

x (1 + e^{2}) = e^{2}

$x (1 + e^{2}) = e^{2}$ durch

1 + e^{2}

$1 + e^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in

x (1 + e^{2}) = e^{2}

$x (1 + e^{2}) = e^{2}$ durch

1 + e^{2}

$1 + e^{2}$ .

\frac{x (1 + e^{2})}{1 + e^{2}} = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}

$\frac{x (1 + e^{2})}{1 + e^{2}} = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

1 + e^{2}

$1 + e^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{x (1 + e^{2})}{1 + e^{2}} = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}

$\frac{x (1 + e^{2})}{1 + e^{2}} = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}

$x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}

$x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}

$x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}

$x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}

$x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

Dezimalform:

x = 0.88079707 \dots

$x = 0.88079707 \dots$