Trigonometrie Beispiele

$2 \ln (\sqrt{x}) - \ln (1 - x) = 2$

Schritt 1

Stelle $1$ und $- x$ um.

$2 \ln (\sqrt{x}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \ln (\sqrt{x}) - \ln (- x + 1)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (\sqrt{x})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({\sqrt{x}}^{2}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 2.1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\ln (x^{\frac{2}{2}}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x^{\frac{2}{2}}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x^{1}) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.1.2.5

Vereinfache.

$\ln (x) - \ln (- x + 1) = 2$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{- x + 1}) = 2$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{x}{- x + 1}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{x}{- x + 1}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x = e^{2} (- x + 1)$

Schritt 5

Vereinfache $e^{2} (- x + 1)$ .

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = e^{2} (- x) + e^{2} \cdot 1$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $e^{2}$ mit $1$ .

$x = e^{2} (- x) + e^{2}$

Schritt 5.2.2

Stelle die Faktoren in $e^{2} (- x) + e^{2}$ um.

$x = - e^{2} x + e^{2}$

Schritt 6

Addiere $e^{2} x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + e^{2} x = e^{2}$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $x + e^{2} x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 + e^{2} x = e^{2}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $e^{2} x$ heraus.

$x \cdot 1 + x e^{2} = e^{2}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x e^{2}$ heraus.

$x (1 + e^{2}) = e^{2}$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x (1 + e^{2}) = e^{2}$ durch $1 + e^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x (1 + e^{2}) = e^{2}$ durch $1 + e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e^{2})}{1 + e^{2}} = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + e^{2})}{1 + e^{2}} = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

Dezimalform:

$x = 0.88079707 \dots$