Trigonometrie Beispiele

$2 \csc (2 x) - \cot (x) = \tan (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\csc (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 \frac{1}{\sin (2 x)} - \cot (x) = \tan (x)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{2}{\sin (2 x)} - \cot (x) = \tan (x)$

Schritt 1.1.3

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \tan (x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) (\frac{2}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (2 x) \frac{2}{\sin (2 x)} + \sin (2 x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) \frac{2}{\sin (2 x)} + \sin (2 x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + \sin (2 x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 - \sin (2 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\sin (2 x)$ .

$2 - \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 - \frac{\cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 - \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 - \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 - \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 - \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.3.2

Dividiere $2 \cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$2 - (2 \cos^{2} (x)) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (1) - 2 \cos^{2} (x) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$2 (1 - \cos^{2} (x)) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 11

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$2 \sin^{2} (x) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 12

Kombiniere $\sin (2 x)$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin^{2} (x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 13.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 13.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 13.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 13.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sin^{2} (x) = \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 13.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sin^{2} (x) = \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 14.2

Dividiere $2 \sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = 2 \sin^{2} (x)$

Schritt 15

Bringe alle Terme, die $\sin (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 15.1

Subtrahiere $2 \sin^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 15.2

Subtrahiere $2 \sin^{2} (x)$ von $2 \sin^{2} (x)$ .

$0 = 0$

Schritt 16

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$