Trigonometrie Beispiele

$2 \cos (3 x) = - \sqrt{2}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (3 x) = - \sqrt{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (3 x) = - \sqrt{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\cos (3 x)$ durch $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (3 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$3 x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3 π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3 π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$3 x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$3 x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$3 x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{5 π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{5 π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Schritt 6.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (3 x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (3 x)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$