Trigonometrie Beispiele

$2 \cos (\frac{1}{2} x) - \sqrt{2} = 0$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (\frac{1}{2} x) = \sqrt{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (\frac{1}{2} x) = \sqrt{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (\frac{1}{2} x) = \sqrt{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (\frac{1}{2} x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (\frac{1}{2} x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{1}{2} x)$ durch $1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{1}{2} x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 7

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 7.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 7.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 8

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Schritt 9.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Schritt 9.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Vereinfache $2 (2 π - \frac{π}{4})$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Schritt 9.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.2.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Schritt 9.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 9.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{2 (2)}$

Schritt 9.2.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.2.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{2}$

Schritt 9.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{2}$

Schritt 9.2.2.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{2}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{1}{2} x)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 10.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 10.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{1}{2} x)$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$