Gib eine Aufgabe ein ...
Trigonometrie Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.
Schritt 1.2
Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.
1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.
2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.
Schritt 1.3
Die Zahl ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.
Nicht prim
Schritt 1.4
Das kgV von ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.
Schritt 1.5
Der Teiler von ist selbst.
occurs time.
Schritt 1.6
Der Teiler von ist selbst.
occurs time.
Schritt 1.7
Der Teiler von ist selbst.
occurs time.
Schritt 1.8
Das kgV von ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.
Schritt 2
Schritt 2.1
Multipliziere jeden Term in mit .
Schritt 2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.2.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.1.1.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.2.1.2
Schreibe als um.
Schritt 2.2.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.5
Stelle die Terme um.
Schritt 2.2.1.6
Potenziere mit .
Schritt 2.2.1.7
Potenziere mit .
Schritt 2.2.1.8
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.2.1.9
Addiere und .
Schritt 2.2.1.10
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 2.2.1.11
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.2.1.11.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 2.2.1.11.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1.11.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.1.11.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.2.1.12
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 2.2.1.12.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.2.1.12.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.2.1.12.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.2.1.13
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Schritt 2.2.1.13.1
Ordne die Faktoren in den Termen und neu an.
Schritt 2.2.1.13.2
Addiere und .
Schritt 2.2.1.13.3
Addiere und .
Schritt 2.2.1.14
Vereinfache jeden Term.
Schritt 2.2.1.14.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.1.14.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.1.15
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.2.1.16
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.1.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.3.2
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 2.3.2.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.3.2.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.3.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.3.3
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Schritt 2.3.3.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 2.3.3.1.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.3.3.1.2
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 2.3.3.1.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.3.3.1.3.1
Bewege .
Schritt 2.3.3.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.3.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.3.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.3.3
Addiere und .
Schritt 2.3.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.3.5
Multipliziere.
Schritt 2.3.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3
Schritt 3.1
Bringe alle Terme, die enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.
Schritt 3.1.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.1.2
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.1.2.1
Schreibe als um.
Schritt 3.1.2.2
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 3.1.2.2.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.1.2.2.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.1.2.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.1.2.3
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Schritt 3.1.2.3.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.1.2.3.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.3.1.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 3.1.2.3.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 3.1.2.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.1.2.5
Vereinfache.
Schritt 3.1.2.5.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 3.1.2.5.1.1
Bewege .
Schritt 3.1.2.5.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.5.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2.5.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 3.1.2.5.1.3
Addiere und .
Schritt 3.1.2.5.2
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 3.1.2.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.6
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.1.2.6.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 3.1.2.6.1.1
Bewege .
Schritt 3.1.2.6.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 3.1.4
Addiere und .
Schritt 3.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.3
Subtrahiere von .
Schritt 3.4
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
Schritt 3.4.1
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
Schritt 3.4.1.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 3.4.1.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 3.4.1.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
Schritt 3.4.1.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 3.4.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 3.4.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.1.3.4
Potenziere mit .
Schritt 3.4.1.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.1.3.6
Addiere und .
Schritt 3.4.1.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.1.3.8
Addiere und .
Schritt 3.4.1.3.9
Subtrahiere von .
Schritt 3.4.1.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 3.4.1.5
Dividiere durch .
Schritt 3.4.1.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
+ | - | + | - | - |
Schritt 3.4.1.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
- | |||||||||||
+ | - | + | - | - |
Schritt 3.4.1.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
- | |||||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
- | - |
Schritt 3.4.1.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
- | |||||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
+ | + |
Schritt 3.4.1.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
- | |||||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
+ |
Schritt 3.4.1.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
- | |||||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
+ | - |
Schritt 3.4.1.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
- | + | ||||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
+ | - |
Schritt 3.4.1.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
- | + | ||||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
+ | + |
Schritt 3.4.1.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
- | + | ||||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | - |
Schritt 3.4.1.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
- | + | ||||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- |
Schritt 3.4.1.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
- | + | ||||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Schritt 3.4.1.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
- | + | - | |||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Schritt 3.4.1.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
- | + | - | |||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Schritt 3.4.1.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
- | + | - | |||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Schritt 3.4.1.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
- | + | - | |||||||||
+ | - | + | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
Schritt 3.4.1.5.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 3.4.1.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 3.4.2
Faktorisiere durch Gruppieren.
Schritt 3.4.2.1
Faktorisiere durch Gruppieren.
Schritt 3.4.2.1.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
Schritt 3.4.2.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.4.2.1.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 3.4.2.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.4.2.1.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
Schritt 3.4.2.1.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 3.4.2.1.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 3.4.2.1.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 3.4.2.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 3.5
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 3.6
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 3.6.1
Setze gleich .
Schritt 3.6.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.7
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 3.7.1
Setze gleich .
Schritt 3.7.2
Löse nach auf.
Schritt 3.7.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.7.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 3.7.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.7.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 3.7.2.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 3.7.2.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 3.7.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 3.7.2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 3.8
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 3.8.1
Setze gleich .
Schritt 3.8.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.9
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 4
Schließe die Lösungen aus, die nicht erfüllen.