Trigonometrie Beispiele

$x^{2} + 120 = {(3 x + 20)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache ${(3 x + 20)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$x^{2} + 120 = 0 + 0 + {(3 x + 20)}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(3 x + 20)}^{2}$ als $(3 x + 20) (3 x + 20)$ um.

$x^{2} + 120 = (3 x + 20) (3 x + 20)$

Schritt 1.3

Multipliziere $(3 x + 20) (3 x + 20)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 120 = 3 x (3 x + 20) + 20 (3 x + 20)$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 120 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 20 + 20 (3 x + 20)$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 120 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 20 + 20 (3 x) + 20 \cdot 20$

Schritt 1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 120 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 20 + 20 (3 x) + 20 \cdot 20$

Schritt 1.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$x^{2} + 120 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 20 + 20 (3 x) + 20 \cdot 20$

Schritt 1.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 120 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 20 + 20 (3 x) + 20 \cdot 20$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} + 120 = 9 x^{2} + 3 x \cdot 20 + 20 (3 x) + 20 \cdot 20$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $3$ .

$x^{2} + 120 = 9 x^{2} + 60 x + 20 (3 x) + 20 \cdot 20$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$x^{2} + 120 = 9 x^{2} + 60 x + 60 x + 20 \cdot 20$

Schritt 1.4.1.6

Mutltipliziere $20$ mit $20$ .

$x^{2} + 120 = 9 x^{2} + 60 x + 60 x + 400$

Schritt 1.4.2

Addiere $60 x$ und $60 x$ .

$x^{2} + 120 = 9 x^{2} + 120 x + 400$

Schritt 2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 x^{2} + 120 x + 400 = x^{2} + 120$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + 120 x + 400 - x^{2} = 120$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $9 x^{2}$ .

$8 x^{2} + 120 x + 400 = 120$

Schritt 4

Subtrahiere $120$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{2} + 120 x + 400 - 120 = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $120$ von $400$ .

$8 x^{2} + 120 x + 280 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{2} + 120 x + 280$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$8 (x^{2}) + 120 x + 280 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $8$ aus $120 x$ heraus.

$8 (x^{2}) + 8 (15 x) + 280 = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $8$ aus $280$ heraus.

$8 x^{2} + 8 (15 x) + 8 \cdot 35 = 0$

Schritt 6.4

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{2} + 8 (15 x)$ heraus.

$8 (x^{2} + 15 x) + 8 \cdot 35 = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere $8$ aus $8 (x^{2} + 15 x) + 8 \cdot 35$ heraus.

$8 (x^{2} + 15 x + 35) = 0$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $8 (x^{2} + 15 x + 35) = 0$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $8 (x^{2} + 15 x + 35) = 0$ durch $8$ .

$\frac{8 (x^{2} + 15 x + 35)}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (x^{2} + 15 x + 35)}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x^{2} + 15 x + 35$ durch $1$ .

$x^{2} + 15 x + 35 = \frac{0}{8}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $0$ durch $8$ .

$x^{2} + 15 x + 35 = 0$

Schritt 8

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 9

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 15$ und $c = 35$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $15$ mit $2$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 35$ .

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Schritt 10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $35$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 140}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $140$ von $225$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{85}}{2}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{15 - \sqrt{85}}{2}, - \frac{15 + \sqrt{85}}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{15 - \sqrt{85}}{2}, - \frac{15 + \sqrt{85}}{2}$

Dezimalform:

$x = - 2.89022777 \dots, - 12.10977222 \dots$