Trigonometrie Beispiele

$x^{3} - 512 = 0$

Schritt 1

Addiere $512$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 512$

Schritt 2

Subtrahiere $512$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 512 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe $512$ als $8^{3}$ um.

$x^{3} - 8^{3} = 0$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 8$ .

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

Schritt 3.3.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Schritt 5

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 6

Setze $x^{2} + 8 x + 64$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{2} + 8 x + 64$ gleich $0$ .

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} + 8 x + 64 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 8$ und $c = 64$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $256$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 192$ als $- 1 (192)$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (192)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.7

Schreibe $192$ als $8^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.7.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ wahr machen.

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$