Trigonometrie Beispiele

$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Schritt 1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 10$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 10$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 6 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 10$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 1 - 6 + 3 \cdot - 1 + 10$

Schritt 1.1.3.5

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$- 7 + 3 \cdot - 1 + 10$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 7 - 3 + 10$

Schritt 1.1.3.7

Subtrahiere $3$ von $- 7$ .

$- 10 + 10$

Schritt 1.1.3.8

Addiere $- 10$ und $10$ .

$0$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10}{x + 1}$

Schritt 1.1.5

Dividiere $x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$3 x$

$10$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Schritt 1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 x^{2} - 7 x$

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Schritt 1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$10 x$

Schritt 1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Schritt 1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Schritt 1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	+	$10$

Schritt 1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x + 10$

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$

Schritt 1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$
										$0$

Schritt 1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 7 x + 10$

Schritt 1.1.6

Schreibe $x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (x^{2} - 7 x + 10) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 5, - 2$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) ((x - 5) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 5) (x - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 5) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 5, 2$