Trigonometrie Beispiele

$\cos (π + x) + \cos (π + x) = 1$

Schritt 1

Addiere $\cos (π + x)$ und $\cos (π + x)$ .

$2 \cos (π + x) = 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (π + x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (π + x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (π + x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (π + x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cos (π + x)$ durch $1$ .

$\cos (π + x) = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$π + x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$π + x = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{3} - π$

Schritt 5.2

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{3} - π \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.3

Kombiniere $- π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{3} + \frac{- π \cdot 3}{3}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π - π \cdot 3}{3}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{π - 3 π}{3}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $3 π$ von $π$ .

$x = \frac{- 2 π}{3}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 π}{3}$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$π + x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 7.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π + x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$π + x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π + x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$π + x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 7.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$π + x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{5 π}{3} - π$

Schritt 7.2.2

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{3} - π \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $- π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{3} + \frac{- π \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 π - π \cdot 3}{3}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{5 π - 3 π}{3}$

Schritt 7.2.5.2

Subtrahiere $3 π$ von $5 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (π + x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 9.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{2 π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{2 π}{3} + 2 π$

Schritt 9.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 π - 2 π}{3}$

Schritt 9.4.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Schritt 9.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\cos (π + x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$