Trigonometrie Beispiele

$\cos (x) - \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = - \cos (x)$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)}$ als ${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere ${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 - 3 \cos^{2} (x))}^{1} = {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache.

$3 - 3 \cos^{2} (x) = {(- \cos (x))}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- \cos (x))}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \cos (x)$ an.

$3 - 3 \cos^{2} (x) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = 1 \cos^{2} (x)$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $1$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Schritt 4

Löse nach $\cos (x)$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $\cos (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Schritt 4.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 4.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Löse in $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 6.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 6.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 6.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 6.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Löse in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.4

Vereinfache $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Schritt 7.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Schritt 7.4.3.2

Subtrahiere $5 π$ von $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $\frac{π}{6} + 2 π n$ und $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ zu $\frac{π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.2

Führe $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ und $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ zu $\frac{5 π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Schließe die Lösungen aus, die $\cos (x) - \sqrt{3 - 3 \cos^{2} (x)} = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$