Trigonometrie Beispiele

$\cot (x) = \csc (2 x) + \cot (2 x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (2 x) + \cot (2 x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\csc (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)} + \cot (2 x)$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\cot (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \sin (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (2 x)} + \sin (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 6

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$\cos (x) = \frac{\sin (x)}{\sin (2 x)} + \sin (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 7

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$\cos (x) = \frac{\sin (x)}{\sin (2 x)} + \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\cos (x) = \frac{\sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{\sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.3

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 8.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{2 \cos (x)}$

Schritt 8.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}$

Schritt 9

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)}$

Schritt 10

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Subtrahiere $\frac{1}{2 \cos (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) - \frac{1}{2 \cos (x)} = \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)}$

Schritt 10.2

Subtrahiere $\frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) - \frac{1}{2 \cos (x)} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 11

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.1

Vereinfache $\cos (x) - \frac{1}{2 \cos (x)} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)}$ .

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Schritt 11.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.1.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (x) + \frac{- 1 - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) + \frac{- 1 - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\cos (x) + \frac{- 1 - 1 - (- 2 \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\cos (x) + \frac{- 1 - 1 + 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.1.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 11.1.1.3.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\cos (x) + \frac{- 2 + 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.1.3.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$\cos (x) + \frac{- 2 (1) + 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.1.3.3

Faktorisiere $- 2$ aus $2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) + \frac{- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.1.3.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\cos (x) + \frac{- 2 (1 - \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos (x) + \frac{- 2 \cos^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 11.1.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) + \frac{2 (- \cos^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) + \frac{2 (- \cos^{2} (x))}{2 (\cos (x))} = 0$

Schritt 11.1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + \frac{2 (- \cos^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + \frac{- \cos^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 11.1.3.1.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 11.1.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1.3.1.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Schritt 11.1.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Schritt 11.1.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + \frac{- \cos (x)}{1} = 0$

Schritt 11.1.3.1.2.2.4

Dividiere $- \cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 11.1.3.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$0 = 0$

Schritt 12

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$