Trigonometrie Beispiele

$8 \tan (x) + 7 \sqrt{3} = - \sqrt{3}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\tan (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $7 \sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 \tan (x) = - \sqrt{3} - 7 \sqrt{3}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $7 \sqrt{3}$ von $- \sqrt{3}$ .

$8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ durch $8$ .

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $8$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 \sqrt{3}$ heraus.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 (1)}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Schritt 2.3.1.2.4

Dividiere $- \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arctan (- \sqrt{3})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{2 π}{3}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + π$

Schritt 8.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{2 π}{3} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$