Trigonometrie Beispiele

8 cos (arcsin (x)) = \sqrt{64 - 64 x^{2}}

$8 \cos (\arcsin (x)) = \sqrt{64 - 64 x^{2}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

\sqrt{64 - 64 x^{2}} = 8 cos (arcsin (x))

$\sqrt{64 - 64 x^{2}} = 8 \cos (\arcsin (x))$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

{\sqrt{64 - 64 x^{2}}}^{2} = {(8 cos (arcsin (x)))}^{2}

${\sqrt{64 - 64 x^{2}}}^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{64 - 64 x^{2}}

$\sqrt{64 - 64 x^{2}}$ als

{(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}}

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

{({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 cos (arcsin (x)))}^{2}

${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache

{({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in

{({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 cos (arcsin (x)))}^{2}

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

{(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 cos (arcsin (x)))}^{2}

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

{(64 - 64 x^{2})}^{1} = {(8 cos (arcsin (x)))}^{2}

${(64 - 64 x^{2})}^{1} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

{(64 - 64 x^{2})}^{1} = {(8 cos (arcsin (x)))}^{2}

${(64 - 64 x^{2})}^{1} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

{(64 - 64 x^{2})}^{1} = {(8 cos (arcsin (x)))}^{2}

${(64 - 64 x^{2})}^{1} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

64 - 64 x^{2} = {(8 cos (arcsin (x)))}^{2}

$64 - 64 x^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

64 - 64 x^{2} = {(8 cos (arcsin (x)))}^{2}

$64 - 64 x^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

64 - 64 x^{2} = {(8 cos (arcsin (x)))}^{2}

$64 - 64 x^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache

{(8 cos (arcsin (x)))}^{2}

${(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten

(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ ,

(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist

arcsin (x)

$\arcsin (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch

(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ verläuft. Folglich ist

cos (arcsin (x))

$\cos (\arcsin (x))$

\sqrt{1 - x^{2}}

$\sqrt{1 - x^{2}}$ .

64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1 - x^{2}})}^{2}

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1 - x^{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Schreibe

1

$1$ als

1^{2}

$1^{2}$ um.

64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1^{2} - x^{2}})}^{2}

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1^{2} - x^{2}})}^{2}$

64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1^{2} - x^{2}})}^{2}

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1^{2} - x^{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

a = 1

$a = 1$ und

b = x

$b = x$ .

64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 3.3.1.3.1

Wende die Produktregel auf

8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}

$8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ an.

64 - 64 x^{2} = 8^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}

$64 - 64 x^{2} = 8^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.2

Potenziere

8

$8$ mit

2

$2$ .

64 - 64 x^{2} = 64 {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}

$64 - 64 x^{2} = 64 {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.3

Schreibe

{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als

(1 + x) (1 - x)

$(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 3.3.1.3.3.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{(1 + x) (1 - x)}

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als

{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

64 - 64 x^{2} = 64 {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}

$64 - 64 x^{2} = 64 {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.3.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.3.1.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{1}

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{1}

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.3.5

Vereinfache.

64 - 64 x^{2} = 64 ((1 + x) (1 - x))

$64 - 64 x^{2} = 64 ((1 + x) (1 - x))$

64 - 64 x^{2} = 64 ((1 + x) (1 - x))

$64 - 64 x^{2} = 64 ((1 + x) (1 - x))$

64 - 64 x^{2} = 64 ((1 + x) (1 - x))

$64 - 64 x^{2} = 64 ((1 + x) (1 - x))$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere

(1 + x) (1 - x)

$(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

64 - 64 x^{2} = 64 (1 (1 - x) + x (1 - x))

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Schritt 3.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Schritt 3.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.5.1.1

Mutltipliziere

1

$1$ mit

1

$1$ .

64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Schritt 3.3.1.5.1.2

Mutltipliziere

- x

$- x$ mit

1

$1$ .

64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Schritt 3.3.1.5.1.3

Mutltipliziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x + x (- x))

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x + x (- x))$

Schritt 3.3.1.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x \cdot x)

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x \cdot x)$

Schritt 3.3.1.5.1.5

Multipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.5.1.5.1

Bewege

x

$x$ .

64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - (x \cdot x))

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - (x \cdot x))$

Schritt 3.3.1.5.1.5.2

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x^{2})

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x^{2})$

64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x^{2})

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x^{2})$

64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x^{2})

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x^{2})$

Schritt 3.3.1.5.2

Addiere

- x

$- x$ und

x

$x$ .

64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 0 - x^{2})

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 0 - x^{2})$

Schritt 3.3.1.5.3

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x^{2})

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x^{2})$

64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x^{2})

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x^{2})$

Schritt 3.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

64 - 64 x^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- x^{2})

$64 - 64 x^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- x^{2})$

Schritt 3.3.1.7

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.7.1

Mutltipliziere

64

$64$ mit

1

$1$ .

64 - 64 x^{2} = 64 + 64 (- x^{2})

$64 - 64 x^{2} = 64 + 64 (- x^{2})$

Schritt 3.3.1.7.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

64

$64$ .

64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}

$64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}$

64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}

$64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}$

64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}

$64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}$

64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}

$64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}$

64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}

$64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die

x

$x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere

64 x^{2}

$64 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

64 - 64 x^{2} + 64 x^{2} = 64

$64 - 64 x^{2} + 64 x^{2} = 64$

Schritt 4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$64 - 64 x^{2} + 64 x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Addiere

$- 64 x^{2}$ und

$64 x^{2}$ .

$64 + 0 = 64$

Schritt 4.1.2.2

Addiere

$64$ und

$0$ .

$64 = 64$

Schritt 4.2

$64 = 64$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von

$x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$