Trigonometrie Beispiele

$8 \cos (\arcsin (x)) = \sqrt{64 - 64 x^{2}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{64 - 64 x^{2}} = 8 \cos (\arcsin (x))$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{64 - 64 x^{2}}}^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{64 - 64 x^{2}}$ als ${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(64 - 64 x^{2})}^{1} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$64 - 64 x^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1 - x^{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1^{2} - x^{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 3.3.1.3.1

Wende die Produktregel auf $8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ an.

$64 - 64 x^{2} = 8^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.3

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 3.3.1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$64 - 64 x^{2} = 64 {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.3.5

Vereinfache.

$64 - 64 x^{2} = 64 ((1 + x) (1 - x))$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Schritt 3.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Schritt 3.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.5.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Schritt 3.3.1.5.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Schritt 3.3.1.5.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x + x (- x))$

Schritt 3.3.1.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x \cdot x)$

Schritt 3.3.1.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - (x \cdot x))$

Schritt 3.3.1.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x^{2})$

Schritt 3.3.1.5.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 0 - x^{2})$

Schritt 3.3.1.5.3

Addiere $1$ und $0$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x^{2})$

Schritt 3.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$64 - 64 x^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- x^{2})$

Schritt 3.3.1.7

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.7.1

Mutltipliziere $64$ mit $1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 + 64 (- x^{2})$

Schritt 3.3.1.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $64 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$64 - 64 x^{2} + 64 x^{2} = 64$

Schritt 4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $64 - 64 x^{2} + 64 x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Addiere $- 64 x^{2}$ und $64 x^{2}$ .

$64 + 0 = 64$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $64$ und $0$ .

$64 = 64$

Schritt 4.2

Da $64 = 64$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$