Trigonometrie Beispiele

$9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = 1$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = 1$ durch $9$ .

$\frac{9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2})}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2})}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (x - \frac{π}{2})$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{9}$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{9}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ um.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Schritt 3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{1}{3}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$

$\sin (x - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$

Schritt 6

Löse in $\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{1}{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x - \frac{π}{2} = 0.3398369$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 0.3398369 + \frac{π}{2}$

Schritt 6.3.2

Addiere $0.3398369$ und $\frac{π}{2}$ .

$x = 1.91063323$

Schritt 6.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x - \frac{π}{2} = (3.14159265) - 0.3398369$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Subtrahiere $0.3398369$ von $3.14159265$ .

$x - \frac{π}{2} = 2.80175574$

Schritt 6.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.5.2.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2.80175574 + \frac{π}{2}$

Schritt 6.5.2.2

Addiere $2.80175574$ und $\frac{π}{2}$ .

$x = 4.37255207$

Schritt 6.6

Ermittele die Periode von $\sin (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 6.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.7

Die Periode der Funktion $\sin (x - \frac{π}{2})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.91063323 + 2 π n, 4.37255207 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Löse in $\sin (x - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x - \frac{π}{2} = \arcsin (- \frac{1}{3})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1}{3})$ .

$x - \frac{π}{2} = - 0.3398369$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 0.3398369 + \frac{π}{2}$

Schritt 7.3.2

Addiere $- 0.3398369$ und $\frac{π}{2}$ .

$x = 1.23095941$

Schritt 7.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x - \frac{π}{2} = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x - \frac{π}{2} = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 7.5.2

Der resultierende Winkel von $3.48142956$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x - \frac{π}{2} = 3.48142956$

Schritt 7.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.5.3.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3.48142956 + \frac{π}{2}$

Schritt 7.5.3.2

Addiere $3.48142956$ und $\frac{π}{2}$ .

$x = 5.05222588$

Schritt 7.6

Ermittele die Periode von $\sin (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 7.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.7

Die Periode der Funktion $\sin (x - \frac{π}{2})$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.91063323 + 2 π n, 4.37255207 + 2 π n, 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $1.91063323 + 2 π n$ und $5.05222588 + 2 π n$ zu $1.91063323 + π n$ zusammen.

$x = 1.91063323 + π n, 4.37255207 + 2 π n, 1.23095941 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9.2

Führe $4.37255207 + 2 π n$ und $1.23095941 + 2 π n$ zu $1.23095941 + π n$ zusammen.

$x = 1.91063323 + π n, 1.23095941 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$