Trigonometrie Beispiele

$9 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x) = 1$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$9 {(u)}^{2} - 5 u = 1$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 5$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 1)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 9 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 36 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 1$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 36}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.3

Addiere $25$ und $36$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{18}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}, \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$

Schritt 7

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}, \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$

Schritt 8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}$

$\sin (x) = \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$

Schritt 9

Löse in $\sin (x) = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{5 + \sqrt{61}}{18})$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{5 + \sqrt{61}}{18})$ .

$x = 0.79188753$

Schritt 9.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.79188753$

Schritt 9.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.79188753$

Schritt 9.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.79188753$

Schritt 9.4.3

Subtrahiere $0.79188753$ von $3.14159265$ .

$x = 2.34970512$

Schritt 9.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.79188753 + 2 π n, 2.34970512 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Löse in $\sin (x) = \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{5 - \sqrt{61}}{18})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{5 - \sqrt{61}}{18})$ .

$x = - 0.15676629$

Schritt 10.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) + 0.15676629$

Schritt 10.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.15676629$

Schritt 10.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.15676629$

Schritt 10.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.15676629$ .

$x = 3.29835895$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 10.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.15676629$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.15676629 + 2 π$

Schritt 10.6.2

Subtrahiere $0.15676629$ von $2 π$ .

$6.126419$

Schritt 10.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 6.126419$

Schritt 10.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.29835895 + 2 π n, 6.126419 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.79188753 + 2 π n, 2.34970512 + 2 π n, 3.29835895 + 2 π n, 6.126419 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$