Trigonometrie Beispiele

$3 \csc (x) - 4 \sqrt{3} = 9 \csc (x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $\csc (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $9 \csc (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \csc (x) - 4 \sqrt{3} - 9 \csc (x) = 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $9 \csc (x)$ von $3 \csc (x)$ .

$- 6 \csc (x) - 4 \sqrt{3} = 0$

Schritt 2

Addiere $4 \sqrt{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 \csc (x) = 4 \sqrt{3}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- 6 \csc (x) = 4 \sqrt{3}$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 \csc (x) = 4 \sqrt{3}$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 \csc (x)}{- 6} = \frac{4 \sqrt{3}}{- 6}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 \csc (x)}{- 6} = \frac{4 \sqrt{3}}{- 6}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\csc (x)$ durch $1$ .

$\csc (x) = \frac{4 \sqrt{3}}{- 6}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 6$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$\csc (x) = \frac{2 (2 \sqrt{3})}{- 6}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\csc (x) = \frac{2 (2 \sqrt{3})}{2 (- 3)}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) = \frac{2 (2 \sqrt{3})}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{- 3}$

Schritt 3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 6

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 7.2

Der resultierende Winkel von $\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 9.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Schritt 9.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 9.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 9.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Schritt 9.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Schritt 9.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$