Trigonometrie Beispiele

$4 \csc^{2} (x) + 4 \csc (x) + 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\csc (x)$ durch $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 4 (u) + 1 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $4 u^{2}$ als ${(2 u)}^{2}$ um.

${(2 u)}^{2} + 4 u + 1 = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

${(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2} = 0$

Schritt 2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Schritt 2.4

Schreibe das Polynom neu.

${(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2 u$ und $b = 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3

Setze $2 u + 1$ gleich $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = - 1$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Der Wertebereich des Kosekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $- \frac{1}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung