Trigonometrie Beispiele

$4 \sin^{2} (x - 4) \sin (x + 1) = 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin^{2} (x - 4) = 0$

$\sin (x + 1) = 0$

Schritt 2

Setze $\sin^{2} (x - 4)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $\sin^{2} (x - 4)$ gleich $0$ .

$\sin^{2} (x - 4) = 0$

Schritt 2.2

Löse $\sin^{2} (x - 4) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (x - 4) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sin (x - 4) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sin (x - 4) = \pm 0$

Schritt 2.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\sin (x - 4) = 0$

Schritt 2.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x - 4 = \arcsin (0)$

Schritt 2.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.2.5

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.2.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x - 4 = π - 0$

Schritt 2.2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.7.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x - 4 = π$

Schritt 2.2.7.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = π + 4$

Schritt 2.2.8

Ermittele die Periode von $\sin (x - 4)$ .

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Schritt 2.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.2.8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (x - 4)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 4 + 2 π n, π + 4 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Setze $\sin (x + 1)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\sin (x + 1)$ gleich $0$ .

$\sin (x + 1) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\sin (x + 1) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x + 1 = \arcsin (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x + 1 = π - 0$

Schritt 3.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x + 1 = π$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = π - 1$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x + 1)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.2.7.1

Addiere $2 π$ zu $- 1$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1 + 2 π$

Schritt 3.2.7.2

Liste die neuen Winkel auf.

$x = - 1 + 2 π$

Schritt 3.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x + 1)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = - 1 + 2 π + 2 π n, π - 1 + 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 \sin^{2} (x - 4) \sin (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 4 + 2 π n, π + 4 + 2 π n, - 1 + 2 π + 2 π n, π - 1 + 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$