Trigonometrie Beispiele

$4 (2^{x}) = 6$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4 \cdot 2^{x}) = \ln (6)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (4 \cdot 2^{x})$ als $\ln (4) + \ln (2^{x})$ um.

$\ln (4) + \ln (2^{x}) = \ln (6)$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (4) + x \ln (2) = \ln (6)$

Schritt 3

Stelle $\ln (4)$ und $x \ln (2)$ um.

$x \ln (2) + \ln (4) = \ln (6)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (2) + \ln (4) - \ln (6) = 0$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + \ln (\frac{4}{6}) = 0$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x \ln (2) + \ln (\frac{2 (2)}{6}) = 0$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) = 0$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}) = 0$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (2) + \ln (\frac{2}{3}) = 0$

Schritt 7

Subtrahiere $\ln (\frac{2}{3})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (2) = - \ln (\frac{2}{3})$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = - \ln (\frac{2}{3})$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = - \ln (\frac{2}{3})$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Dezimalform:

$x = 0.58496250 \dots$