Trigonometrie Beispiele

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Schritt 1

Ersetze die $4 \cos^{2} (x)$ durch $4 (1 - \sin^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 4

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 u^{2}$ heraus.

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 u$ heraus.

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

Schritt 5.1.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 u^{2}) - (4 u)$ heraus.

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ heraus.

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $4 u^{2}$ als ${(2 u)}^{2}$ um.

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

Schritt 5.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Schritt 5.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2 u$ und $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Dividiere ${(2 u + 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 7

Setze $2 u + 1$ gleich $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Schritt 8

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = - 1$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{2}$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 10

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 11

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Schritt 12

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 13.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 13.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 14

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 14.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 14.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 14.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 14.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 15

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 15.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Schritt 15.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 15.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 15.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 15.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Schritt 15.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Schritt 15.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 16

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$