Trigonometrie Beispiele

$4 \cot (x) = \cot (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $4 \cot (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$4 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x) \sin^{2} (x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\cot (x) \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin^{2} (x)$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) \sin (x))$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) \sin (x))$

Schritt 2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \sin (x)$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) \frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \cos (x) = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 5

Multipliziere $\sin (x) (\cos (x) \sin (x))$ .

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Schritt 5.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \cos (x) = \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (x)$

Schritt 5.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \cos (x) = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (x)$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \cos (x) = {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \cos (x) = \sin^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 6

Subtrahiere $\sin^{2} (x) \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Schritt 7

Faktorisiere $4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $4 \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) \cdot 4 - \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \sin^{2} (x) \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) \cdot 4 + \cos (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \cdot 4 + \cos (x) (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\cos (x) (4 - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) (2^{2} - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 7.3

Faktorisiere.

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Schritt 7.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = \sin (x)$ .

$\cos (x) ((2 + \sin (x)) (2 - \sin (x))) = 0$

Schritt 7.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$\cos (x) (2 + \sin (x)) (2 - \sin (x)) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 + \sin (x) = 0$

$2 - \sin (x) = 0$

Schritt 9

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 9.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 9.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 9.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 9.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 9.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 9.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Setze $2 + \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $2 + \sin (x)$ gleich $0$ .

$2 + \sin (x) = 0$

Schritt 10.2

Löse $2 + \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 2$

Schritt 10.2.2

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- 2$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos (x) (2 + \sin (x)) (2 - \sin (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$