Trigonometrie Beispiele

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 2$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (\frac{x}{2}) = 2$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (\frac{x}{2}) = 2$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{2}{4}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{2}{4}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{2}{4}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Schritt 5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Schritt 7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $2 (π - \frac{π}{6})$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Schritt 7.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 7.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

Schritt 7.2.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Schritt 7.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

Schritt 7.2.2.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 8.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$