Trigonometrie Beispiele

$4 \sin (\frac{π}{6} x) = 3$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (\frac{π}{6} x) = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (\frac{π}{6} x) = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{π}{6} x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (\frac{π}{6} x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{π}{6} x)$ durch $1$ .

$\sin (\frac{π}{6} x) = \frac{3}{4}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{π}{6} x = \arcsin (\frac{3}{4})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{π}{6}$ und $x$ .

$\frac{π x}{6} = \arcsin (\frac{3}{4})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Berechne $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$\frac{π x}{6} = 0.84806207$

Schritt 5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{6}{π}$ .

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} \cdot 0.84806207$

Schritt 6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache $\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} \cdot 0.84806207$

Schritt 6.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} \cdot 0.84806207$

Schritt 6.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{6}{π} \cdot 0.84806207$

Schritt 6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} \cdot 0.84806207$

Schritt 6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{6}{π} \cdot 0.84806207$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $\frac{6}{π} \cdot 0.84806207$ .

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $\frac{6}{π} \cdot 0.84806207$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{6}{π}$ und $0.84806207$ .

$x = \frac{6 \cdot 0.84806207}{π}$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0.84806207$ .

$x = \frac{5.08837247}{π}$

Schritt 6.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$x = \frac{5.08837247}{3.14159265}$

Schritt 6.2.1.3

Dividiere $5.08837247$ durch $3.14159265$ .

$x = 1.61967926$

Schritt 7

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{π x}{6} = (3.14159265) - 0.84806207$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{6}{π}$ .

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} ((3.14159265) - 0.84806207)$

Schritt 8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache $\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6}$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 8.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} ((3.14159265) - 0.84806207)$

Schritt 8.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} ((3.14159265) - 0.84806207)$

Schritt 8.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{6}{π} ((3.14159265) - 0.84806207)$

Schritt 8.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} ((3.14159265) - 0.84806207)$

Schritt 8.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{6}{π} ((3.14159265) - 0.84806207)$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $\frac{6}{π} ((3.14159265) - 0.84806207)$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Subtrahiere $0.84806207$ von $3.14159265$ .

$x = \frac{6}{π} \cdot 2.29353057$

Schritt 8.2.2.1.2

Multipliziere $\frac{6}{π} \cdot 2.29353057$ .

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Schritt 8.2.2.1.2.1

Kombiniere $\frac{6}{π}$ und $2.29353057$ .

$x = \frac{6 \cdot 2.29353057}{π}$

Schritt 8.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2.29353057$ .

$x = \frac{13.76118344}{π}$

Schritt 8.2.2.1.3

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$x = \frac{13.76118344}{3.14159265}$

Schritt 8.2.2.1.4

Dividiere $13.76118344$ durch $3.14159265$ .

$x = 4.38032073$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{π}{6} x)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{6}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{6} |}$

Schritt 9.3

$\frac{π}{6}$ ist ungefähr $0.52359877$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{6}}$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{6}{π}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{6}{π}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{6}{π}$

Schritt 9.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 6$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{π}{6} x)$ ist $12$ , d. h., Werte werden sich alle $12$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.61967926 + 12 n, 4.38032073 + 12 n$ , für jede ganze Zahl $n$