Trigonometrie Beispiele

$5 \sin (x) + 2 \cos (x) = 1$

Schritt 1

Wende die Identitätsgleichung an, um die Gleichung zu lösen. In dieser Identitätsgleichung stellt $θ$ den Winkel dar, der erzeugt wird durch Einzeichnen von Punkt $(a, b)$ auf einem Graphen und kann daher durch Anwenden von $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ermittelt werden.

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , wobei $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ und $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Schritt 2

Stelle die Gleichung auf, um den Wert von $θ$ zu finden.

$\tan^{-1} (\frac{2}{5})$

Schritt 3

Berechne $\tan^{-1} (\frac{2}{5})$ .

$θ = 0.38050637$

Schritt 4

Löse, um den Wert von $R$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$R = \sqrt{25 + 4}$

Schritt 4.3

Addiere $25$ und $4$ .

$R = \sqrt{29}$

Schritt 5

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$(\sqrt{29}) \sin (x + 0.38050637) = 1$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 1$ durch $\sqrt{29}$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 1$ durch $\sqrt{29}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{29}}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{29}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{29}}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $\sin (x + 0.38050637)$ durch $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{1}{\sqrt{29}}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{29}}$ mit $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{1}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{29}}$ mit $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Schritt 6.3.2.2

Potenziere $\sqrt{29}$ mit $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} \sqrt{29}}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{29}$ mit $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} {\sqrt{29}}^{1}}$

Schritt 6.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{29}}^{2}$ als $29$ um.

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Schritt 6.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{29}$ als $29^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{29^{1}}$

Schritt 6.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{29}$

Schritt 7

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x + 0.38050637 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{29}}{29})$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Berechne $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{29}}{29})$ .

$x + 0.38050637 = 0.18677946$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $0.38050637$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 0.18677946 - 0.38050637$

Schritt 9.2

Subtrahiere $0.38050637$ von $0.18677946$ .

$x = - 0.19372691$

Schritt 10

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x + 0.38050637 = (3.14159265) - 0.18677946$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Subtrahiere $0.18677946$ von $3.14159265$ .

$x + 0.38050637 = 2.95481319$

Schritt 11.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $0.38050637$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2.95481319 - 0.38050637$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $0.38050637$ von $2.95481319$ .

$x = 2.57430681$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\sin (x + 0.38050637)$ .

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Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 13.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.19372691$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.19372691 + 2 π$

Schritt 13.2

Subtrahiere $0.19372691$ von $2 π$ .

$6.08945839$

Schritt 13.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 6.08945839$

Schritt 14

Die Periode der Funktion $\sin (x + 0.38050637)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.57430681 + 2 π n, 6.08945839 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$