Trigonometrie Beispiele

$5 x = \sqrt{10 + 15 x}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{10 + 15 x} = 5 x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{10 + 15 x}}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10 + 15 x}$ als ${(10 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(10 + 15 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(10 + 15 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(10 + 15 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 + 15 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(10 + 15 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(10 + 15 x)}^{1} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$10 + 15 x = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(5 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$10 + 15 x = 5^{2} x^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$10 + 15 x = 25 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $25 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 + 15 x - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 5$ aus $10 + 15 x - 25 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bewege $10$ .

$15 x - 25 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Stelle $15 x$ und $- 25 x^{2}$ um.

$- 25 x^{2} + 15 x + 10 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $- 5$ aus $- 25 x^{2}$ heraus.

$- 5 (5 x^{2}) + 15 x + 10 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $- 5$ aus $15 x$ heraus.

$- 5 (5 x^{2}) - 5 (- 3 x) + 10 = 0$

Schritt 4.2.1.4

Faktorisiere $- 5$ aus $10$ heraus.

$- 5 (5 x^{2}) - 5 (- 3 x) - 5 \cdot - 2 = 0$

Schritt 4.2.1.5

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 (5 x^{2}) - 5 (- 3 x)$ heraus.

$- 5 (5 x^{2} - 3 x) - 5 \cdot - 2 = 0$

Schritt 4.2.1.6

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 (5 x^{2} - 3 x) - 5 (- 2)$ heraus.

$- 5 (5 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 2 = - 10$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$- 5 (5 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $2$ plus $- 5$

$- 5 (5 x^{2} + (2 - 5) x - 2) = 0$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 (5 x^{2} + 2 x - 5 x - 2) = 0$

Schritt 4.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 5 ((5 x^{2} + 2 x) - 5 x - 2) = 0$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 5 (x (5 x + 2) - (5 x + 2)) = 0$

Schritt 4.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 2$ .

$- 5 ((5 x + 2) (x - 1)) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 5 (5 x + 2) (x - 1) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.4

Setze $5 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $5 x + 2$ gleich $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse $5 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 2$

Schritt 4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 4.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Schritt 4.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{5}$

Schritt 4.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 5 (5 x + 2) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{5}, 1$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $5 x = \sqrt{10 + 15 x}$ nicht erfüllen.

$x = 1$