Trigonometrie Beispiele

$6 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 3$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $6 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 3$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 3$ durch $6$ .

$\frac{6 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{6} = \frac{3}{6}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{6} = \frac{3}{6}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{3}{6}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{3 (1)}{6}$

Schritt 1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\csc (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\csc (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\csc (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\csc (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\csc (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 6

Löse in $\csc (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Der Wertebereich des Kosekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $\frac{\sqrt{2}}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 7

Löse in $\csc (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Der Wertebereich des Kosekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung