Trigonometrie Beispiele

$\tan (3 x) \tan (x - 1) = 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (3 x) = 0$

$\tan (x - 1) = 0$

Schritt 2

Setze $\tan (3 x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $\tan (3 x)$ gleich $0$ .

$\tan (3 x) = 0$

Schritt 2.2

Löse $\tan (3 x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 x = \arctan (0)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$3 x = 0$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$3 x = π + 0$

Schritt 2.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Addiere $π$ und $0$ .

$3 x = π$

Schritt 2.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = π$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 2.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 2.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 2.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (3 x)$ .

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Schritt 2.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.2.6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 2.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 2.2.7

Die Periode der Funktion $\tan (3 x)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Setze $\tan (x - 1)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\tan (x - 1)$ gleich $0$ .

$\tan (x - 1) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\tan (x - 1) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x - 1 = \arctan (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.2.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x - 1 = π + 0$

Schritt 3.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Addiere $π$ und $0$ .

$x - 1 = π$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = π + 1$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\tan (x - 1)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.7

Die Periode der Funktion $\tan (x - 1)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1 + π n, π + 1 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (3 x) \tan (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}, 1 + π n, π + 1 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 5.1

Führe $\frac{π n}{3}$ und $\frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ zu $\frac{π n}{3}$ zusammen.

$x = \frac{π n}{3}, 1 + π n, π + 1 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2

Führe $1 + π n$ und $π + 1 + π n$ zu $1 + π n$ zusammen.

$x = \frac{π n}{3}, 1 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$