Trigonometrie Beispiele

$\tan (75) = \frac{20}{x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{20}{x} = \tan (75)$ um.

$\frac{20}{x} = \tan (75)$

Schritt 2

Der genau Wert von $\tan (75)$ ist $2 + \sqrt{3}$ .

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Schritt 2.1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{20}{x} = \tan (30 + 45)$

Schritt 2.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{20}{x} = \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Schritt 2.7

Vereinfache $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Schritt 2.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 2.7.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2

Kombinieren.

$\frac{20}{x} = \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 2.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 2.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 2.7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.7.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Schritt 2.7.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 2.7.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.7.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.7.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.7.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 2.7.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Schritt 2.7.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Schritt 2.7.8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.7.9

Vereinfache.

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.10.1

Stelle die Terme um.

$\frac{20}{x} = \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.10.2

Potenziere $3 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.10.3

Potenziere $3 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Schritt 2.7.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 2.7.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Schritt 2.7.11

Schreibe ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{20}{x} = \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.12

Multipliziere $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.7.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20}{x} = \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.7.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.13.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Schritt 2.7.13.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 2.7.13.2

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{20}{x} = \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.13.3

Addiere $3 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 + 6 \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 2.7.14.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\frac{20}{x} = \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.14.2

Faktorisiere $6$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{20}{x} = \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.14.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Schritt 2.7.14.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.14.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Schritt 2.7.14.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Schritt 2.7.14.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20}{x} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Schritt 2.7.14.4.4

Dividiere $2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1, 1$

Schritt 3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$ mit $x$ .

$\frac{20}{x} x = 2 x + \sqrt{3} x$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{x} x = 2 x + \sqrt{3} x$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$20 = 2 x + \sqrt{3} x$

Schritt 5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $2 x + \sqrt{3} x = 20$ um.

$2 x + \sqrt{3} x = 20$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x + \sqrt{3} x$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$x \cdot 2 + \sqrt{3} x = 20$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $\sqrt{3} x$ heraus.

$x \cdot 2 + x \sqrt{3} = 20$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x \sqrt{3}$ heraus.

$x (2 + \sqrt{3}) = 20$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x (2 + \sqrt{3}) = 20$ durch $2 + \sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x (2 + \sqrt{3}) = 20$ durch $2 + \sqrt{3}$ .

$\frac{x (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + \sqrt{3}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{20}{2 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$x = \frac{20}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{20}{2 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}$

Schritt 5.3.3.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache.

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{1}$

Schritt 5.3.3.5

Dividiere $20 (2 - \sqrt{3})$ durch $1$ .

$x = 20 (2 - \sqrt{3})$

Schritt 5.3.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 20 \cdot 2 + 20 (- \sqrt{3})$

Schritt 5.3.3.7

Multipliziere.

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Schritt 5.3.3.7.1

Mutltipliziere $20$ mit $2$ .

$x = 40 + 20 (- \sqrt{3})$

Schritt 5.3.3.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$x = 40 - 20 \sqrt{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 40 - 20 \sqrt{3}$

Dezimalform:

$x = 5.35898384 \dots$