Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) + \cot (x) = 2 \csc (2 x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) = 2 \csc (2 x)$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 2 \csc (2 x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \csc (2 x)$ .

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\csc (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 2 \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 6

Multipliziere $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 6.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{2}{\sin (2 x)}$

Schritt 7

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{2}{\sin (2 x)}$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (2 x)}$

Schritt 8

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x) \cdot 2}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x) \cdot 2}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{2}{2 \sin (x)}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{2}{2 \sin (x)}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 11

Subtrahiere $\frac{1}{\sin (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = 0$

Schritt 12

Vereinfache $\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Schritt 12.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)} = 0$

Schritt 12.2

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\sin (x) + \frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 12.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\sin (x) + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 12.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\sin (x) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = 0$

Schritt 12.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$\sin (x) + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = 0$

Schritt 12.6

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$\sin (x) + \frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = 0$

Schritt 12.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 12.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (x)$ und $\sin (x)$ .

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Schritt 12.8.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)} = 0$

Schritt 12.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.8.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = 0$

Schritt 12.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = 0$

Schritt 12.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) + \frac{- \sin (x)}{1} = 0$

Schritt 12.8.2.4

Dividiere $- \sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 12.9

Subtrahiere $\sin (x)$ von $\sin (x)$ .

$0 = 0$

Schritt 13

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$