Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) - 2 \tan (x) \sin (x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 2 \tan (x) \sin (x) = 0$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = 0$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = 0$

Schritt 1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = 0$

Schritt 1.1.5

Multipliziere $- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.1.5.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.1.5.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) - \frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\tan (x) - \frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 1.2.3

Separiere Brüche.

$\tan (x) - (\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Schritt 1.2.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) - (\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x)) = 0$

Schritt 1.2.5

Dividiere $2 (\sin (x))$ durch $1$ .

$\tan (x) - (2 (\sin (x)) \tan (x)) = 0$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\tan (x) - 2 \sin (x) \tan (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) - 2 \sin (x) \tan (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan^{1} (x)$ heraus.

$\tan (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \tan (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $- 2 \sin (x) \tan (x)$ heraus.

$\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- 2 \sin (x))$ heraus.

$\tan (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 4

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 4.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze $1 - 2 \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $1 - 2 \sin (x)$ gleich $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $1 - 2 \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 5.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 5.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 5.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\tan (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ wahr machen.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Führe $π n$ und $π + π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$