Trigonometrie Beispiele

$\log (8 x) - \log (5 + \sqrt{x}) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{8 x}{5 + \sqrt{x}}) = 2$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{8 x}{5 + \sqrt{x}}$ mit $\frac{5 - \sqrt{x}}{5 - \sqrt{x}}$ .

$\log (\frac{8 x}{5 + \sqrt{x}} \cdot \frac{5 - \sqrt{x}}{5 - \sqrt{x}}) = 2$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{8 x}{5 + \sqrt{x}}$ mit $\frac{5 - \sqrt{x}}{5 - \sqrt{x}}$ .

$\log (\frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{(5 + \sqrt{x}) (5 - \sqrt{x})}) = 2$

Schritt 1.4

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\log (\frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{25 - 5 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 5 - {\sqrt{x}}^{2}}) = 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

$\log (\frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{- x + 25}) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log (\frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{- x + 25}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{2} = \frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{- x + 25}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$8 x (5 - \sqrt{x}) = 10^{2} (- x + 25)$

Schritt 4

Vereinfache $10^{2} (- x + 25)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$8 x (5 - \sqrt{x}) = 100 (- x + 25)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x (5 - \sqrt{x}) = 100 (- x) + 100 \cdot 25$

Schritt 4.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$8 x (5 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100 \cdot 25$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $100$ mit $25$ .

$8 x (5 - \sqrt{x}) = - 100 x + 2500$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $100 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x (5 - \sqrt{x}) + 100 x = 2500$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x \cdot 5 + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 2500$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$40 x + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 2500$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$40 x - 8 x \sqrt{x} + 100 x = 2500$

Schritt 5.3

Addiere $40 x$ und $100 x$ .

$- 8 x \sqrt{x} + 140 x = 2500$

Schritt 6

Faktorisiere $4 x$ aus $- 8 x \sqrt{x} + 140 x$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $4 x$ aus $- 8 x \sqrt{x}$ heraus.

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 140 x = 2500$

Schritt 6.2

Faktorisiere $4 x$ aus $140 x$ heraus.

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (35) = 2500$

Schritt 6.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (35)$ heraus.

$4 x (- 2 \sqrt{x} + 35) = 2500$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $4 x (- 2 \sqrt{x} + 35) = 2500$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x (- 2 \sqrt{x} + 35) = 2500$ durch $4$ .

$\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 35)}{4} = \frac{2500}{4}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 35)}{4} = \frac{2500}{4}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x (- 2 \sqrt{x} + 35)$ durch $1$ .

$x (- 2 \sqrt{x} + 35) = \frac{2500}{4}$

Schritt 7.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- 2 \sqrt{x}) + x \cdot 35 = \frac{2500}{4}$

Schritt 7.2.3

Stelle um.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x \sqrt{x} + x \cdot 35 = \frac{2500}{4}$

Schritt 7.2.3.2

Bringe $35$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 2 x \sqrt{x} + 35 x = \frac{2500}{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $2500$ durch $4$ .

$- 2 x \sqrt{x} + 35 x = 625$

Schritt 8

Subtrahiere $35 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x \sqrt{x} = 625 - 35 x$

Schritt 9

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 2 x \sqrt{x})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache ${(- 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.1.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 10.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

${(- 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(- 2 x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(- 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(- 2 x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

${(- 2 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.2

Wende die Produktregel auf $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ an.

${(- 2)}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{3} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache ${(625 - 35 x)}^{2}$ .

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Schritt 10.3.1.1

Schreibe ${(625 - 35 x)}^{2}$ als $(625 - 35 x) (625 - 35 x)$ um.

$4 x^{3} = (625 - 35 x) (625 - 35 x)$

Schritt 10.3.1.2

Multipliziere $(625 - 35 x) (625 - 35 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} = 625 (625 - 35 x) - 35 x (625 - 35 x)$

Schritt 10.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} = 625 \cdot 625 + 625 (- 35 x) - 35 x (625 - 35 x)$

Schritt 10.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} = 625 \cdot 625 + 625 (- 35 x) - 35 x \cdot 625 - 35 x (- 35 x)$

Schritt 10.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $625$ mit $625$ .

$4 x^{3} = 390625 + 625 (- 35 x) - 35 x \cdot 625 - 35 x (- 35 x)$

Schritt 10.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 35$ mit $625$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 35 x \cdot 625 - 35 x (- 35 x)$

Schritt 10.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $625$ mit $- 35$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x - 35 x (- 35 x)$

Schritt 10.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x - 35 \cdot - 35 x \cdot x$

Schritt 10.3.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x - 35 \cdot - 35 (x \cdot x)$

Schritt 10.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x - 35 \cdot - 35 x^{2}$

Schritt 10.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 35$ mit $- 35$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x + 1225 x^{2}$

Schritt 10.3.1.3.2

Subtrahiere $21875 x$ von $- 21875 x$ .

$4 x^{3} = 390625 - 43750 x + 1225 x^{2}$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1.1

Subtrahiere $390625$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 390625 = - 43750 x + 1225 x^{2}$

Schritt 11.1.2

Addiere $43750 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 390625 + 43750 x = 1225 x^{2}$

Schritt 11.1.3

Subtrahiere $1225 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 390625 + 43750 x - 1225 x^{2} = 0$

Schritt 11.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.2.1

Stelle die Terme um.

$4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625 = 0$

Schritt 11.2.2

Faktorisiere $4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 11.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 390625, \pm 5, \pm 78125, \pm 25, \pm 15625, \pm 125, \pm 3125, \pm 625$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 11.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 390625, \pm 97656.25, \pm 195312.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 78125, \pm 19531.25, \pm 39062.5, \pm 25, \pm 6.25, \pm 12.5, \pm 15625, \pm 3906.25, \pm 7812.5, \pm 125, \pm 31.25, \pm 62.5, \pm 3125, \pm 781.25, \pm 1562.5, \pm 625, \pm 156.25, \pm 312.5$

Schritt 11.2.2.3

Setze $25$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $25$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 11.2.2.3.1

Setze $25$ in das Polynom ein.

$4 \cdot 25^{3} - 1225 \cdot 25^{2} + 43750 \cdot 25 - 390625$

Schritt 11.2.2.3.2

Potenziere $25$ mit $3$ .

$4 \cdot 15625 - 1225 \cdot 25^{2} + 43750 \cdot 25 - 390625$

Schritt 11.2.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $15625$ .

$62500 - 1225 \cdot 25^{2} + 43750 \cdot 25 - 390625$

Schritt 11.2.2.3.4

Potenziere $25$ mit $2$ .

$62500 - 1225 \cdot 625 + 43750 \cdot 25 - 390625$

Schritt 11.2.2.3.5

Mutltipliziere $- 1225$ mit $625$ .

$62500 - 765625 + 43750 \cdot 25 - 390625$

Schritt 11.2.2.3.6

Subtrahiere $765625$ von $62500$ .

$- 703125 + 43750 \cdot 25 - 390625$

Schritt 11.2.2.3.7

Mutltipliziere $43750$ mit $25$ .

$- 703125 + 1093750 - 390625$

Schritt 11.2.2.3.8

Addiere $- 703125$ und $1093750$ .

$390625 - 390625$

Schritt 11.2.2.3.9

Subtrahiere $390625$ von $390625$ .

$0$

Schritt 11.2.2.4

Da $25$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 25$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625}{x - 25}$

Schritt 11.2.2.5

Dividiere $4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625$ durch $x - 25$ .

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Schritt 11.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$25$

$4 x^{3}$

$1225 x^{2}$

$43750 x$

$390625$

Schritt 11.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$

Schritt 11.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			+	$4 x^{3}$	-	$100 x^{2}$

Schritt 11.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} - 100 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$

Schritt 11.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$

Schritt 11.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$

Schritt 11.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 1125 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$

Schritt 11.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					-	$1125 x^{2}$	+	$28125 x$

Schritt 11.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 1125 x^{2} + 28125 x$

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$

Schritt 11.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$

Schritt 11.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$

Schritt 11.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $15625 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$	+	$15625$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$

Schritt 11.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$	+	$15625$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$
							+	$15625 x$	-	$390625$

Schritt 11.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $15625 x - 390625$

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$	+	$15625$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$
							-	$15625 x$	+	$390625$

Schritt 11.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$	+	$15625$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$
							-	$15625 x$	+	$390625$
										$0$

Schritt 11.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$4 x^{2} - 1125 x + 15625$

Schritt 11.2.2.6

Schreibe $4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 25) (4 x^{2} - 1125 x + 15625) = 0$

Schritt 11.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 25 = 0$

$4 x^{2} - 1125 x + 15625 = 0$

Schritt 11.4

Setze $x - 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.4.1

Setze $x - 25$ gleich $0$ .

$x - 25 = 0$

Schritt 11.4.2

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 25$

Schritt 11.5

Setze $4 x^{2} - 1125 x + 15625$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.5.1

Setze $4 x^{2} - 1125 x + 15625$ gleich $0$ .

$4 x^{2} - 1125 x + 15625 = 0$

Schritt 11.5.2

Löse $4 x^{2} - 1125 x + 15625 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11.5.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 1125$ und $c = 15625$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1125 \pm \sqrt{{(- 1125)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 15625)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 11.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.5.2.3.1.1

Potenziere $- 1125$ mit $2$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{1265625 - 4 \cdot 4 \cdot 15625}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 15625$ .

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Schritt 11.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{1265625 - 16 \cdot 15625}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $15625$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{1265625 - 250000}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.1.3

Subtrahiere $250000$ von $1265625$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{1015625}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.1.4

Schreibe $1015625$ als $125^{2} \cdot 65$ um.

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Schritt 11.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $15625$ aus $1015625$ heraus.

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{15625 (65)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.1.4.2

Schreibe $15625$ als $125^{2}$ um.

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{125^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{1125 \pm 125 \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

Schritt 11.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{1125 \pm 125 \sqrt{65}}{8}$

Schritt 11.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1125 + 125 \sqrt{65}}{8}, \frac{1125 - 125 \sqrt{65}}{8}$

Schritt 11.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 25) (4 x^{2} - 1125 x + 15625) = 0$ wahr machen.

$x = 25, \frac{1125 + 125 \sqrt{65}}{8}, \frac{1125 - 125 \sqrt{65}}{8}$

Schritt 12

Schließe die Lösungen aus, die $\log (8 x) - \log (5 + \sqrt{x}) = 2$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1125 + 125 \sqrt{65}}{8}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1125 + 125 \sqrt{65}}{8}$

Dezimalform:

$x = 266.59777731 \dots$