Trigonometrie Beispiele

$\sec (π x) = 2$

Schritt 1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$π x = arcsec (2)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $arcsec (2)$ ist $\frac{π}{3}$ .

$π x = \frac{π}{3}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{3}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{3}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 4

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$π x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$π x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$π x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{5 π}{3}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{5 π}{3}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{5 π}{3}}{π}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{5 π}{3}}{π}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{π}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot 5}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot 5}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sec (π x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 6.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 6.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\sec (π x)$ ist $2$ , d. h., Werte werden sich alle $2$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{1}{3} + 2 n, \frac{5}{3} + 2 n$ , für jede ganze Zahl $n$