Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (- \frac{π}{6})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{π}{6})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$x = 2 \frac{- π}{6}$

Schritt 4.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

Schritt 4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- π}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{6}$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{6}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{6}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 \frac{7 π}{6}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 \frac{7 π}{2 (3)}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{7 π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 7.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 8

Addiere $4 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Addiere $4 π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + 4 π$

Schritt 8.2

Um $4 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Kombiniere $4 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 π - π}{3}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{3}$

Schritt 8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{3}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{3} + 4 π n, \frac{11 π}{3} + 4 π n$ , für jede ganze Zahl $n$